Елена Николаевна Веснина родилась в Ленинградской области. В 1997 году окончила Санкт-Петербургскую государственную лесотехническую академию им. С.М. Кирова. В 2003 году там же окончила аспирантуру. Кандидат технических наук.
С 2004 по 2014 годы работала в подведомственных институтах системы Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии.
С 2014 по 2019 годы продолжила трудовую деятельность в Министерстве промышленности и торговли Российской Федерации в должности начальника отдела стандартизации Департамента государственной политики в области технического регулирования, стандартизации и обеспечения единства измерений.
В 2019 – 2020 годах работала в Евразийской экономической комиссии в должности заместителя начальника отдела оценки соответствия и обеспечения единства измерений Департамента технического регулирования и аккредитации.
С 2020 по 2024 годы занимала должность заместителя директора Департамента государственной политики в области технического регулирования, стандартизации и обеспечения единства измерений Минпромторга России.
В 2024 – 2026 годах – начальник Управления государственной политики в сфере технического регулирования, стандартизации и обеспечения единства измерений Минпромторга России.
С 17 июня 2026 года назначена заместителем директора Департамента технического регулирования и аккредитации Евразийской экономической комиссии.